1 、 电路的零输入照应

图 1 RC电路的放电进程

在图1 （ a ）中，换路前（ S1 闭合， S2 断开），电路是由电容 C 与电压 的直流电压源联接而成，电容电压 。当 t=0 时，翻开 S1 并合上 S2, 使电容脱离电源而改接于电阻 R 上。尔后 , 电容经过电阻放电，电容电压将由它的初始值开端，随时刻的添加逐步减小以趋近于零。在放电进程中，电容内的电场能量将转化为电阻发热损耗的能量。

求解电容经过电阻放电时的放电电流和电压随时刻改动的规矩，也即是求解图1(b) 所示电路的零输入照应。为此，首要有必要树立换路后电路的微分方程。

依照图中标明的电容电压和电流的参阅方向，电容电压和电流的联络式应为

基尔霍夫电压规矩，可得电路的微分方程为

（ 1 ）

此微分方程的特征方程为

特征根为

因而该微分方程的通解为 （ 2 ）

该微分方程的初始条件显着是

由式 (2) ，令 ，并将初始条件 代入，得到

然后得到在给定初始条件下，电容上的零输入照应电压

（ 3 ）

零输人照应电流（即放电电流 ) 则应为

（ 4 ）

或

电容电压 和电流 随时刻改动的曲线如图 2 所示。

图2 RC电路的零输入照应曲线

函数式和曲线均标明：在 RC 电路的放电进程中，电容电压 从它的初始值 开端，随时刻的添加按指数规矩逐步下降以趋近于零。电流 在放电初瞬（ 时）构成 — 个正跳变，即从 跳变到 。 这是电 容上的原有电压 在换路后的初瞬俄然加到电阻 R 上所构成的作用。往后，跟着电容电压的逐步下降，放电电流也按一样指数规矩逐步衰减直至不见。

在给定电容电压初始值 的状况下，电容 C 越大，电容中贮存的电荷越多，放电需求的时刻越长；电阻 R 越大，放电电流越小，放电需求的时刻也越长。因而，电容电压和电流衰减的快慢，挑选于电路参数 R 和 C 的乘积。这个乘积是一个常量，具有时刻的量纲，它代表电容电压和电流共有的指数衰减因子 衰减至其初始值的 e 分之一所需求的时刻，故称之为指数衰减因子的时刻常数(time constant) ．通常直接称之为 RC 电路的时刻常数，以τ代表，即

τ＝ RC (5)

时刻常数的概念标明，电容电压和电流衰减的快慢取决于电路的时刻常数。 放电前电容上原有电压 的凹凸，将影响电容电压和电流在放电进程中恣意 瞬时的函数值，但不能挑选放电进程的快慢。

阐明：(1) 每经过期刻τ，电容电压 ( 或电流 ) 衰减至原值 [ 指区间τ的起点电容电压 ( 或电流 ) 的数值 ] 的 36.8%。

(2) 当 t ＝ 4 τ —5 τ时，电容电压（或电流 ) 将衰减至其初始值的1.84 ％ - 0.68 ％，通常己可忽略不计，而以为放电进程已根柢完毕。

显着，时刻常数τ愈小，放电进程进行得愈快；反之，则愈慢。

综上所述， RC 电路的零输入照应是依托电容上的初始电压来坚持的，或许说是依托电容华夏有电场能量来坚持的。跟着放电进程的进行，电场能量逐步被电阻耗费，然后挑选了 RC 电路零输入照应按指数规矩衰减的特性。 RC 电路零输入照应的瞬时值挑选于电容上的初始电压 和电路的时刻常数τ。

2、 RL 电路的零输入照应

在图1 所示电路中，换路前 ，换路后电路中的照应即为 RL 电路的零输入照应。这时电路的微分方程为

（ 6 ）

其特征方程为

特征根为

因而该微分方程的通解为

代入初始条件

即得零输入照应电流为 ( 7 )

零输入照应电感电压 [ 参阅方向与 一同 ] 为

(8)

电感电流 与电感电压 随时刻改动的曲线如图4 所示。

由函数式和曲线均可看出：在 RL 电路中，零输入照应电流 从 它的初始值 开端，随时刻的添加按指数规矩逐步衰减以趋近于零。电 感电压 在换路后的初瞬有 — 个负跳变，即由 跳变到 。往后，跟着电流的逐步下降，电感电压的一定值也按同一指数规矩逐步哀减直至不见。

图4 RL电路的零输入照应曲线

电流和电感电压一定值衰减的进程，即是磁场能量放出的进程。衰减的快 慢挑选于 RL 电路的时刻常数τ＝ L ／ R ，增大 L 或减小 R ，照应的衰减减慢；反之则衰减加速。τ值也可依据电流 ( 或电感电压 ) 曲线用作图法求出 [见图4(a)] 。

与 RC 电路的剖析类似，大概经过 4 τ —5 τ的时刻后，就可近似地以为零输入照应已衰减为零了。

综上所述，可知：

(1) RC 电路 ( 或 RL 电路 ) 中的零输入照应电压和电流均以同一时刻常数随时问按指数规矩改动，仅初始值纷歧样算了。因而，只恳求出了照应的初始值

和电路的时刻常数τ，就可依据式 (3) 、 (4)[ 或式 (7) 、 (8)]直接写出电路的零输入照应。

（2) RC 电路和 RL 电路的零输入照应都是电路初始状况的线性函数。例 如， 作为初始状况 的函数来看，满意齐次性与可加性；类似地，作为初始状况 的函数来看，也满意齐次性与可加性。

（3)RC 电路的零输入照应与 RL 电路的零输入照应具有对偶性，二 者的时刻常数也具有对偶性。但须留神， RC 电路的时刻常数τ＝ RC ， RL 电路的时刻常数τ＝ ，其间电容 C 与电感 L 互为对偶，电阻 R 则应与电导 互为对偶。

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