傅里叶级数和傅里叶改换的联络

2017-11-10 15:27分类：电子技术阅读：

这篇文章中说到的傅里叶级数都是复数办法的级数，下标n都是负无量到正无量；
关于笔记篇里常常呈现的“ nπ/L ”，它能够当作一个角频率，用ω标明。（角频率与频率(通常用f标明)之间的联络是：ω=2πf）。（拜见笔记篇中的式（3）、（4）、（6）等）；
进一步，我将“π/L”称为“角基频”，这么的话“ nπ/L ”即是n倍角基频。当周期为2π时，角基频刚好为1；
必定别搞混：cn代表的不是角频率为n的波重量的振幅，而是角频率为n倍角基频的波重量的振幅；
关于周期函数，除了角频率为整数倍（包含负整数倍）角基频的波重量振幅能够不为0外，角频率为别的值的波重量振幅都是0。（下面介绍频谱图时会再说到此事）；
*关于周期L等于无量大的函数（非周期函数），其角基频为π/L = 0 ，这么实数方案内的悉数角频率都能够当作整数倍角基频了，因而非周期函数在悉数的角频率处都有波重量！（即是说，频谱图由离散变得接连了）。啥，那不凌乱了？假定悉数的角频率都有波重量并且每个波重量都有一个不为0的振幅，那级数如何或许收敛？还好，每个cn的表达式中都有一个 1/2L 的系数，这么周期无量大时，悉数的振幅cn也都成为“0”了，所以不会凌乱，但是这么多0加一块应当仍是0，如何能凑出正本的f(x)呢？这就像对一个函数积分一样，函数在恣意一个点处的积分都是0（好吧我知道这说法不科学，但是便当了解），但对一个区间积分，这么多0加起来就成了一个有限值。好了，不乱说了，越说越乱，这篇文章就从这儿开端，看完下面的几段咱们就能了解的知道是如何一回事了。
为了便当咱们翻阅，我先将一刹那间触及到的几个公式从头贴一遍在这儿。这些公式及公式的标号都与笔记篇中一样。

周期级数公式如式（6）和式（7）那样，咱们如今要做的是，搞了解为何周期L趋于无量时，就会有式（9）和式（8）的效果。
好，如今咱们对式（6）和式（7）进行榜首步加工：将式中的“ nπ/L ”用角频率ωn来标明，代表n倍角基频。这么，会发作下面的新式子：

比照式（7-1）和式（8），发现他们右边的积分式主体有些办法简直是一样的，仅仅上下限和系数纷歧样。好吧，为了更直观的比照，我再发明一个符号，Fn，将它界说如下：
Fn = cn × 2L
这么咱们就能够彻底扔掉cn 这个碍眼的符号了，悉数用Fn替代。然后重写式（6）和式（7）：

再拿式（7-2）和式（8）比照，会发现很让人振奋的效果，他们的办法简直一样！但是式（6-2）和式（9）形似纷歧样还不小，他们的系数一个是(1/2L)，一个(1/2π)。好吧，接着来，咱们再发明一个符号，Δω，界说如下：
Δω = （π/ L）（正本即是角基频的巨细）
运用它来再次加工式（6）：（式（7-2）不变，但仍是一块列了出来）

从头比照式（6-3）和式（9），发现办法现已很邻近了，只不过一个是积分一个是和式……等一下！和式？再细心看看看式（6-3），发现这时它很像一个函数积分的和式翻开式！那咱们如今来构造两个函数吧：F* (ω)和ω* (ω)，构造办法如下：
F*(ω) = Fn 当 [ ( n - 1/2 )Δω]
ω* (ω) = ωn 当 [ ( n - 1/2 )Δω]
这是两个分段跳动函数，它们都以ω为自变量，并每隔Δω，函数值改动一次。
好吧，数字太不直观，我把F*(ω)的函数图象大致画出来便当咱们了解：

上面这个阶梯状的东西即是F* (ω)的函数图象。ω* (ω)的图画也是相似的阶梯状，并且它的更简略，是一个从负无量到正无量逐渐添加的形状（每次添加一个角基频的巨细）。
这儿有必要阐明一下，避免误导咱们：Fn 通常都是复数，只需在f(x)自身是偶函数时才是实数，因而函数F*的值也应为复数。也即是说，将F*的函数图象画成图1那样的实数办法正本是不合理的。我这么做仅仅为了便当咱们了解（6-3）中的和式是如何成为积分式的。
好了，有了这两个函数，咱们再来细心看看式（6-3），不难看出，这个和式正本即是函数F*在（-∞,+∞）上的积分（面积）！这次咱们再进一步，将上面两个式子中的Fn和ωn也都换掉，使其成为ω*和F*这两个函数之间的联络式（离成功不远了）：

这即是改换后的效果。笔记篇中的式（6b）与式（7），跟如今推出的式（6-4）与式（7-4），是彻底等价的，由于后边的两个即是依据前两个换算来的，只不过凭仗了F*(ω)和ω* (ω)这两个新构造的函数算了。
表达的含义一样，适用方案也一样（都适用于周期函数），但办法却大变！
这时再回头看看式（9）和式（8），咱们总算能够松口气了，办法彻底一样！好了，如今咱们再看看看周期L趋于无量时会发作啥。假定直接剖析笔记篇中的式（6b）与式（7），咱们会很绝望，由于L趋于无量时，它们都“退化”了，很难直接地从这两个式子中得到有用的信息（假定用这两个式子，咱们所能得到的“直观”效果即是：cn 全变0了，所以f(x)是0。显着这是错的）。但咱们后来发明出来的式（6-4）与式（7-4），习气环境的才华就很强了。
1. 首要，L趋于无量时，Δω会变得越来越小直至成为0（Δω是啥？忘了？前面有，Δω = （π/ L））；
2. 一同，关于ω* (ω) = ωn，由于Δω正本即是角基频，而相邻的两个ωn差即是一个角基频，依据1可知，L趋于无量时，ω* (ω)就由阶梯跳动变得接连了，这时ω* (ω) =ω。
3. 一同，两个相邻的Fn，他们的纷歧样也越来越小直至成为0，（Fn = cn × 2L ，从cn的表达式能够看出，L趋于无量时cn自身即是一个与（1/L）同阶的无量小量，那相邻的cn之间的差值即是比（1/L）更高阶的无量小量，因而相邻的Fn之间的差值就趋于0了）。

OK结束，多么简略，但是早年就没想到，刚如今才开窍。
数字游戏玩完往后，咱们再好好了解一下式（8）（9）中的F(ω)。从咱们方才的证实进程中，能够看到 Fn = cn×2L ，在笔记篇中我说过，cn正本就代表某个频率波重量的振幅和相位，而Fn与cn是成正比的，它的值一样能够表征一个波重量的振幅和相位。F(ω)与Fn有一样的含义，因而F(ω)的散布正本就代表了各角频率波重量的散布。详细的说：
|F(ω)| 的散布正比地表现了各个角频率波重量的振幅散布。（别忘了F(ω)是复数）
F(ω)的辐角表现了各个角频率波重量的相位散布。
咱们往常所说的“频谱图”，正本指的即是| F(ω)|的函数图象，它一向是偶函数（这个即是实数了，由于咱们取的是F(ω)的幅值而不是F(ω)自身）。
关于满意傅里叶改换条件的非周期函数，他们的频谱图通常都是接连的；而关于周期函数，他们的频谱则都是离散的点，只在整数倍角基频的方位有非零的频谱点存在。依据频谱图能够很简略区别该原函数是周期函数仍对错周期的（看频谱图是不是接连就行了），并且关于周期函数，能够从频谱图读出周期巨细（相邻的离散点之间的横轴间隔即是角基频，这个角频率对应的周期即是原函数的周期）。
那如何读出每个频率的振幅呢？| F(ω)| 与振幅成正比，要想读出某个频率波重量的实习振幅，只需让 |F(ω)| 乘以相邻离散点的横轴间隔再除以π即可。正本即是让 |F(ω)| 除以原函数周期值的一半（即L），参阅一下咱们上面说到的Fn和cn之间的联络式以及我在笔记篇中说到的“|cn|的幅值是实习振幅的通常”，就能够轻松得到得到这个定论。关于非周期函数来说，其频谱图已趋于接连，相邻“离散点”的横轴间隔即是一个无量小量，而 |F(ω)| 是有限值，那么每个频率波重量的实习振幅就都是0了。
所以关于非周期函数，说“|F(ω)| 代表了振幅密度的巨细”比说“ |F(ω)| 代表了振幅的巨细”更恰当一点。在某个宽度为Δω的区间内（频带），对这个“密度”进行积分，（正本还要再除以π的）就能得到这个宽度为Δω的频带中悉数频率发作的振幅之和（尽管咱们的振幅都是趋于0，但许多个加一块就有非零值了）。如何了解呢？先把这个接连频谱图期望成一个由许多离散点构成的离散频谱图，只不过相邻离散点之间的横轴间隔分外小（用dω标明吧，便当我叙说），正本恰当于先把这个非周期函数期望成了一个周期很长的周期函数（周期越长，相邻离散点的横轴间隔π/L 越小），然后用周期函数那一套核算这个宽度为 Δω的频带内悉数频率的振幅之和，求解办法即是让每个非零的频谱值乘以相邻离散点横轴间隔dω，都加一块，再除以π。这要取个极限的话，刚好即是“在这个宽度为Δω的频带内，对这个密度进行积分，然后除以π”。
下面配两个图，别离是一个周期函数和一个非周期函数的频谱图：

这篇文章完。我早年就一向不了解傅里叶改换和傅里叶级数的详细联络，在网上找不到极好的材料，早年又没听过课（估量课上也不会讲），书本上又讲的太迷糊，所以很长时刻没有好好思考过傅里叶级数，如今总算自个想了解了。期望我的这些主意期望对你也有所帮忙。