卡诺图如何画?用卡诺图化简逻辑函数

2017-06-19 06:53分类：电子技术阅读：

一卡诺图的构成
卡诺图是一种平面方格图，每个小方格代表一个最小项，故又称为最小项方格图。
1．结构特征
卡诺图中最小项的摆放计划不是仅有的，图2．5(a)、(b)、(c)、(d)别离为2变量、3变量、4变量、5变量卡诺图的一种摆放计划。图中，变量的坐标值0标明相应变量的反变量，1标明相应变量的原变量。各小方格依变量次第取坐标值，所得二进制数对应的十进制数即相应最小项的下标i。
在五变量卡诺图中，为了便当省掉了符号“m”，直接标出m的下标i 。

图2. 5 2～5变量卡诺图
从图2.5所示的各卡诺图能够看出，卡诺图上变量的摆放规矩使最小项的相邻联络能在图形上了解地反映出来。详细地说，在n个变量的卡诺图中，能从图形上直观、便本地找到每个最小项的n个相邻最小项。以四变量卡诺图为例，图中每个最小项应有4个相邻最小项，如m5的4个相邻最小项别离是m1，m4，m7，m13，这4个最小项对应的小方格与m5对应的小方格别离相连，也便是说在几许方位上是相邻的，这种相邻称为几许相邻。而m2则不彻底一样，它的4个相邻最小项除了与之几许相邻的m3和m6以外，别的两个是处在“相对”方位的m0(同一列的两头)和m10(同一行的两头)。这种相邻好像不太直观，但只需把这个图的上、下边际联接，卷成圆筒状，便可看出m0和m2在几许方位上是相邻的。一样，把图的左、右边际联接，便可使m2和m10相邻。通常把这种相邻称为相对相邻。除此以外，还有“相重”方位的最小项相邻，如五变量卡诺图中的m3，除了几许相邻的m1，m2，m7和相对相邻的m11外，还与m19相邻。关于这种景象，能够把卡诺图左面的矩形堆叠到右边矩形之上来看，凡上下堆叠的最小项相邻，这种相邻称为堆叠相邻。
概括起来，卡诺图在结构上具有以下两个特征：
☆ n个变量的卡诺图由2n个小方格构成，每个小方格代表一个最小项；
☆ 卡诺图上处在相邻、相对、相重方位的小方格所代表的最小项为相邻最小项。
二卡诺图的性质
卡诺图的结构特征使卡诺图具有一个首要性质：能够从图形上直观地找出相邻最小项兼并。兼并的理论依据是并项定理AB+AB=A。例如，

依据定理AB+AB=A和相邻最小项的界说，两个相邻最小项能够兼并为一个与项并消去一个变量。例如，4变量最小项ABCD和ABCD相邻，能够兼并为ABD；ABCD和ABCD相邻，能够兼并为ABD；而与项ABD和ABD又为相邻与项，故按一样道理可进一步将两个相邻与项兼并为BD。
用卡诺图化简逻辑函数的根柢原理便是把上述逻辑依据和图形特征联络起来，经过把卡诺图上表征相邻最小项的相邻小方格“圈”在一同进行兼并，抵达用一个简略“与”项替代若干最小项的意图。
通常把用来围住那些能由一个简略“与”项替代的若干最小项的“圈”称为卡诺圈。
三逻辑函数在卡诺图上的标明
1．给定逻辑函数为标准“与-或”表达式
当逻辑函数为标准“与-或”表达式时，只需在卡诺图上找出和表达式中最小项对应的小方格填上1，别的小方格填上0，即可得到该函数的卡诺图。
例如，3变量函数F(A,B,C)=∑m(1,2,3,7)的卡诺图如图2．6所示。

图2．6 函数F(A,B,C)=∑m(1,2,3,7)的卡诺图
2．逻辑函数为通常“与-或”表达式
当逻辑函数为通常“与-或”表达式时，可依据“与”的公共性和“或”的叠加性作出相应卡诺图。
例如，4变量函数F(A,B,C,D)=AB+CD+A·BC的卡诺图如图2．7所示。

图2．7 函数F(A,B,C,D)=AB+CD+A·BC的卡诺图填写该函数卡诺图时，只需在4变量卡诺图上顺次找出和“与项”AB、CD、A·BC对应的小方格填上1，便可得到该函数的卡诺图。
当逻辑函数表达式为别的办法时，可将其改换成上述办法后再作卡诺图。
为了叙说的便当，通常将卡诺图上填1的小方格称为1方格，填0的小方格称为0方格。0方格有时用空格标明。
四卡诺图上最小项的兼并规矩
卡诺图的一个首要特征是，它从图形上直观、了解地反映了最小项的相邻联络。当一个函数用卡诺图标明后，终究哪些最小项能够兼并呢？下面以2、3、4变量卡诺图为例予以阐明。
1．两个小方格相邻, 或处于某行(列)两头时，所代表的最小项能够兼并，兼并后可消去一个变量。
例如，图2.8给出了2、3、4变量卡诺图上两个相邻最小项兼并的典型状况的。

图2．8 两个相邻最小项兼并的状况
2．四个小方格构成一个大方格、或构成一行（列）、或处于相邻两行（列）的两头、或处于四角时，所的表的最小项能够兼并，兼并后可消去两个变量。
例如，图2.9给出了3、4变量卡诺图上四个相邻最小项兼并的典型状况的。

图2．9 四个相邻最小项兼并的状况
3．八个小方格构成一个大方格、或构成相邻的两行（列）、或处于两个边行（列）时，所代表的最小项能够兼并，兼并后可消去三个变量。
例如，图2．10给出了3、4变量卡诺图上八个相邻最小项兼并的典型状况的。

图2．10 八个相邻最小项兼并的状况
至此，以3、4变量卡诺图为例，谈论了2，4，8个最小项的兼并办法。依此类推，不行贵出n个变量卡诺图中最小项的兼并规矩。
概括起来，n个变量卡诺图中最小项的兼并规矩如下：
（1）卡诺圈中小方格的个数有必要为2m个，m为小于或等于n的整数。
（2）卡诺圈中的2m个小方格有必定的摆放规矩，详细地说，它们富含m个纷歧样变量，(n-m)个一样变量。
（3）卡诺圈中的2m个小方格对应的最小项可用(n-m)个变量的“与”项标明，该“与”项由这些最小项中的一样变量构成。
（4）当m=n时，卡诺圈围住了悉数卡诺图，可用1标明，即n个变量的悉数最小项之和为1。
五、卡诺图化简逻辑函数
1．几个界说
蕴涵项：在函数的“与-或”表达式中,每个“与”项被称为该函数的蕴涵项(Implicant)。
显着，在函数卡诺图中，任何一个1方格所对应的最小项或许卡诺圈中的2m个1方格所对应的“与”项都是函数的蕴涵项。
质蕴涵项：若函数的一个蕴涵项不是该函数中别的蕴涵项的子集，则此蕴涵项称为质蕴涵项(Prime Implicant)，简称为质项。
显着，在函数卡诺图中，依照最小项兼并规矩，假定某个卡诺圈不或许被别的更大的卡诺圈包含，那么，该卡诺圈所对应的“与”项为质蕴涵项。
必要质蕴涵项：若函数的一个质蕴涵项包富含不被函数的别的任何质蕴涵项所包含的最小项，则此质蕴涵项被称为必要质蕴涵项(Essential Prime Implicant)，简称为必要质项。
在函数卡诺图中，若某个卡诺圈包含了不或许被任何别的卡诺圈包含的1方格，那么，该卡诺圈所对应的“与”项为必要质蕴涵项。
2．求函数最简“与-或”表达式
（1）通常进程：
榜首步：作出函数的卡诺图。
第二步：在卡诺图上圈出函数的悉数质蕴涵项。依照卡诺图上最小项的兼并规矩，对函数F卡诺图中的1方格画卡诺圈。为了圈出悉数质蕴涵项，画卡诺圈时在满意兼并规矩的前题下应尽或许大，若卡诺圈不或许被更大的卡诺圈围住，则对应的“与”项为质蕴涵项。
第三步：从悉数质蕴涵项中找出悉数必要质蕴涵项。在卡诺图上只被一个卡诺圈围住的最小项被称为必要最小项，包含必要最小项的质蕴涵项即必要质蕴涵项。为了确保所得效果无一丢掉地掩盖函数的悉数最小项，函数表达式中有必要包含悉数必要质蕴涵项。
第四步：求出函数的最简质蕴涵项集。若函数的悉数必要质蕴涵项尚不能掩盖卡诺图上的悉数1方格，则从剩下质蕴涵项中找出最简的所需质蕴涵项，使它和必要质蕴涵项一同构成函数的最小掩盖。
（3）举例
例1 用卡诺图化简逻辑函数F(A,B,C,D)=∑m(0,3,5,6,7,10,11,13,15) 。
解依据卡诺图化简的进程，该题化简进程如下：
图2.11
该题中，5个必要质蕴涵项已将函数的悉数最小项掩盖，故将各卡诺圈对应的与项相或即可得到函数F的最简“与-或”表达式为
F(A,B,C,D)=A·B·C·D+ABC+ABC+BD+CD
例2 用卡诺图化简逻辑函数F(A,B,C,D)=∑m(2,3,6,7,8,10,12) 。
解依据卡诺图化简的进程，该题化简进程如下：
图2．12
由图可知，该函数包含两个必要质蕴涵项，即AC和AC·D。在挑选必要质蕴涵项往后，尚有最小项m10未被掩盖。为了掩盖最小项m10，可选质蕴涵项BCD或许AB·D，因为这两个质蕴涵项均由3个变量构成，故可任选其间之一作为所需质蕴涵项，即F的最简质蕴涵项集可为
{AC，AC·D，BCD} 或许 {AC，AC·D，AB·D}
因而，可求得函数F的最简“与-或”表达式为
F(A,B,C,D)=AC+AC·D+BCD 或许 F(A,B,C,D)=AC+AC·D+AB·D
这儿，函数F的最简“与-或”式有两个，其杂乱程度一样。由此可见，一个函数的最简“与-或”表达式不必定是仅有的！
概括起来，卡诺图化简的准则是：
☆ 在掩盖函数中的悉数最小项的条件下，卡诺圈的个数抵达起码。
☆ 在满意兼并规矩的前题下卡诺圈应尽或许大。
☆ 依据兼并的需求，每个最小项能够被多个卡诺圈围住。
3.求函数的最简“或-与”表达式
当需央求一个函数的最简“或-与”表达式时，可选用“两次取反法”。
详细如下：
☆ 先求出函数F的反函数F的最简“与-或”表达（兼并卡诺图上的0方格）；
☆ 然后对F的最简“与-或”表达式取反，然后得到函数F的最简“或-与”表达式。
例如，用卡诺图求逻辑函数F(A,B,C,D)=∑m(3,4,6,7,11,12,13,14,15)的最简“或-与”表达式。
解首要画出函数F的卡诺图如图2．13所示。

图2．13
图中，F的0方格即反函数F的1方格，它们代表F的各个最小项，将悉数0方格兼并就可得到反函数F的最简“与-或”表达式
F(A,B,C,D)=AB+CD+BD
再对上述函数式两头取反，即可求得函数的最简“或-与”表达式

卡诺图化简逻辑函数具有便当、直观、简略把握等利益。但仍然带有试凑性。分外当变量个数大于6时，画图以及对图形的辨认都变得恰当杂乱。