一、 丈量值的数学希望与标准差
随机过失的核算特性及削减办法
在丈量中，随机过失是不可避免的。随机过失是由许多纤细的没有断定规矩的要素致使的，比方外界条件（温度、湿度、气压、电源电压等）的纤细不坚决，电磁场的烦扰，大地纤细振荡等。
屡次丈量，丈量值和随机过失遵从概率核算规矩。可用数理核算的办法，处理丈量数据，然后削减随机过失对丈量效果的影响。
1.数学希望
在一样条件下，用一样的仪器和办法，由同一丈量者以一样仔细的程度进行屡次丈量，称为等精细度丈量。
设对某一被丈量x 进行丈量次数为n的等精细度丈量，得到的丈量值xi（i=1,2,…,n）为随机变量。其算术均匀值为(也称为样本均匀值):
，
当丈量次数n→∞时，样本均匀值 的极限称为丈量值的数学希望：
，这儿的Ex也称为全体均匀值。
数学希望:反映其均匀特性。其界说如下：
X为离散型随机变量：；
X为接连型随机变量： 。
2.算术均匀值原理
（1）算术均匀值的含义
当丈量次数满意多时则近似以为，随机过失的数学希望等于0。即在仅有随机过失的状况下，当丈量次数满意多时，丈量值的均匀值挨近于真值。
则第i次丈量得到的测得值xi与真值之间的必定过失就等于随机过失，
随机过失的算术均匀值：
在实习丈量作业中，选用某些技能办法根柢消除体系过失的影响，而且除掉粗大过失后，尽管有随机过失存在，但能够选用屡次丈量值的算术均匀值作为终究的丈量效果。
（2）剩下过失（又称残差）
各次丈量值与其算术均匀值之差，称为剩下过失。
对上式两头别离求和，有
上式标明：当n满意大时，残差得代数和等于零。
3.方差与标准差
方差是用来描写随机变量或许值对希望的涣散的特征值。
随机变量X的方差为X与其希望E（X）之差的平方的希望，记为D（X），即

例：两批电池的丈量数据

1丈量数据的散布曲线
能够看到两批电池的丈量的均匀数据一样，可是违背均匀值的效果是纷歧样的，因而，仅仅希望不能标明出效果的纷歧样，需求引进方差与标准差的概念。显着，榜榜榜榜榜首批电池的丈量数据的涣散程度较第二批好，即榜榜榜榜榜首批较第二批方差较小。
标准过失界说为：，
标准过失一样描写随机变量与其数学希望的涣散程度，而且与随机变量具有一样量纲。
标准差反映了丈量的精细度， 小标明精细度高，测得值会集，大标明精细度低，测得值涣散。
二、贝塞尔公式及其运用
1.随机过失的正态散布
丈量中的随机过失通常是多种互相独立的要素构成的许多纤细过失的总和。 基地极束缚理：假定被研讨的随机变量能够标明为许多独立的随机变量的和，其间每一个随机变量对于总和只起纤细效果，则能够为这个随机变量遵从正态散布。

随机过失的概率密度函数为：，
丈量数据X的概率密度函数为：；
随机过失的数学希望和方差为：


一样丈量数据的数学希望E(X)＝，方差D(X)＝ ；

图2 随机过失和丈量数据的正态散布曲线
从图2能够看到随机过失和丈量数据的散布形状一样，因为它们的标准过失一样，仅仅横坐标相差。随机过失具有：①对称性 ② 单峰性 ③ 有界性 ④赔偿性 四个特征。

图3 正态散布的标准过失曲线
从图3能够看到，，即标准过失越小，则曲线形状越尖利，阐明数据越会集；标准过失越大，则曲线形状越平整，阐明数据越涣散。
2.贝塞尔（Besell）公式

3．算术均匀值的标准差
有限次丈量数据的标准过失的估量值；
算术均匀值：；
残差：；
实验标准过失（标准过失的估量值），贝塞尔公式：

算术均匀值标准过失的估量值 ：
；
算术均匀值的标准过失比全体或单次丈量值的标准过失小倍。要素是随机过失的赔偿性 。

三、均匀散布状况下的标准差

1.均匀散布的概率密度
;
2.均匀散布的数学希望与方差
数学希望为 ;
当 时, ；
标准差为

四、 非等精细度丈量
1.权的概念
牢靠程度大的丈量效果在终究陈说值中占的比严峻一些，牢靠程度小的占的比重小一些。标明这种牢靠程度的量称为“权”，记做W。
i=1,2,3,…,m
2.加权均匀值
，其间，m对错等精度丈量数据的组数，N是等效后的次数。能够得出：

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