二阶电路的暂态进程
二阶电路 用二阶微分方程描绘的电路,二阶电路通常富含两个储能元件。
图示电路中,时开关接通。求
RLC串联电路的零输入呼应。
列后KVL方程
将元件方程
代入得描绘的二阶常系数线性齐次微分方程
两个初始条件
的二阶常系数线性齐次微分方程定解
由于电路为零输入呼应,因此的强行重量(特解)为零,即
下面求齐次微分方程通解
特征方程及特征根为
;
令代入上式,得到两个特征根
,
上式标明,特征根、
决议于电路参数(R、L、C)。而电路参数可恣意取值,所以
、
可为相异实根、二重根或共轭复根。相应的,方程通解将具有纷歧样的函数办法。
1.,即电路参数满意
此刻、
为两个相异负实根(设R、L、C均为正值)。方程通解为
其间A1和A2须经过初始条件断定
解得
,
将A1、A2代入得呼应
依据电容、电感的元件方程,思考到可得
由于电路中无独立电源,所以呼应、
、
均为零输入呼应,因此只含自在重量。
时RLC串联电路零输入呼应波形如下——过阻尼进程
2.,即电路参数满意
此刻、
为一对共轭复数,它们别离写成
;
式中,
方程通解为
其间A和须由初始条件断定:
解得
代入得呼应
依据元件方程,得
下图画出了时RLC串联电路零输入呼应
、i及
的波形图——欠阻尼进程
3.,即电路参数满意
此刻和
为两个持平负实根,即特征方程存在二重根
方程通解为
其间A1、A2须由初始条件断定:
解得
代入通解得
以及
由于归于临界状况。此刻电阻R称为临界电阻。临界景象仍对错振动景象。
例1.图(a)所示电路,设。求
的单位阶跃特性
。
解:设A。列写对于
的微分方程。依据KCL,得
(1)
依据KVL,得
(2)
将式(2)对时刻求导,再将式(1)代入求导后的方程,得
(3)
代入已知数
(4)
由零状况电路得初始条件:
(5)
下面求满意方程(4)和初始值(5)的回答。
图 (a)所示电路在效果下存在稳态解。
的稳态重量为
。为求自在重量须写出方程(4)的特征方程并求出特征根
(6)
为一对共轭复根,故
自在重量办法为
(7)
与
相加即是方程(4)的通解
(8)
由初始条件式(5)断定B和:
解得
(9)
将、
代入式(8)得到满意方程(4)及初始值(5)的解,即呼应
A
(十)
由于电路为零状况,时
,能够用单位阶跃函数标明
时的状况。这么
的一同表达式是
A (11)
上述是在单位阶跃电流源效果下发作的呼应,故
的单位阶跃特性
的改动规矩与
相同,但
无量纲。即
(12)
的波形如图 (b)所示。
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